Prime Numbers: মৌলিক সংখ্যার মৌলিক বৈশিষ্ট্য

Prime Numbers: মৌলিক

 সংখ্যার মৌলিক বৈশিষ্ট্য 

-শাহরিয়ার আব্দুল্লাহ 

আমরা সকলেই ছোটবেলায় মৌলিক সংখ্যা সম্পর্কে পড়েছি। কিন্তু মৌলিক সংখ্যার এমন কিছু বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা আমাদের অনেকেরই জানা নেই। তাই চলুন ঘুরে আসি মৌলিক সংখ্যার বিষ্ময়কর এক জগৎ থেকে।

প্রথমেই জানা যাক, মৌলিক সংখ্যা কাকে বলে?

যে সকল সংখ্যা কেবলমাত্র ১ এবং ১ ছাড়া ঐ সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য, তাদেরকে মৌলিক সংখ্যা বলে। অর্থাৎ, মৌলিক সংখ্যা কেবলমাত্র ২টি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা দ্বারা (১ এবং ঐ সংখ্যা) নিঃশেষে বিভাজ্য।

সংজ্ঞা থেকে বুঝা যায়, ১ কোনো মৌলিক সংখ্যা নয়, কারণ ১ কেবলমাত্র একটি সংখ্যা (সে নিজে) দ্বারাই নিঃশেষে বিভাজ্য। তাই প্রথম এবং একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা হল ২। অন্য সকল মৌলিক সংখ্যাই বিজোড় পূর্ণ সংখ্যা।

কিন্তু মজার ব্যাপার হলো এই যে, সকল জোড় যৌগিক সংখ্যা (যারা মৌলিক নয়) কে দুটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল রূপে প্রকাশ করা যায়। যেমন :

৪=২+২, ৬=৩+৩, ১৬=৯+৭ ইত্যাদি

এখন পর্যন্ত (জানুয়ারি, ২০২০) পাওয়া সবচেয়ে বড় মৌলিক সংখ্যা হল: (২^৮২,৫৮৯,৯৩৩)-১

যা কিনা ২৪,৮৬২,০৪৮ অঙ্কের সর্ববৃহৎ মৌলিক সংখ্যা।

কোনো সংখ্যা মৌলিক কিনা তা কিভাবে যাচাই করা যায়, এমন ভাবনা জাগতেই পারে।

প্রথমে একটি সংখ্যা বাছাই করতে হবে। এখন এটিকে ১ থেকে ১০ এর মধ্যে যে ৪টি মৌলিক সংখ্যা (২,৩,৫ ও ৭) রয়েছে তা দ্বারা ভাগ করতে হবে। যদি কোনো ক্ষেত্রে সংখ্যাটি নিঃশেষে বিভাজ্য হয় তবে সংখ্যাটি মৌলিক নয়। তবে কোনো সংখ্যা মৌলিক কিনা তা নিশ্চিত করতে আরো একটি কার্যকরী পদ্ধতি রয়েছে। প্রথমে একটি সংখ্যা বাছাই করতে হবে। এবার ঐ সংখ্যার বর্গমূল নির্ণয় করে প্রাপ্ত সংখ্যার সমান মৌলিক সংখ্যা (যদি থাকে) এবং তার ছোট কোনো মৌলিক সংখ্যা দ্বারা যদি বাছাই করা সংখ্যাটি নিঃশেষে বিভাজ্য না হয় তবেই এটি মৌলিক।

উপপাদ্যটি এমন:

যদি n একটি যৌগিক সংখ্যা হয় তবে এটি  অবশ্যই একটি মৌলিক সংখ্যা p দ্বারা বিভাজ্য, যেখানে p≤√n​. যেমন : ১২৩;

√১২৩=১১.০৯০৫৪(প্রায়)। এর থেকে ছোট মৌলিক সংখ্যা হল ১১। ১২৩, সংখ্যাটি ১১,৭,৫,২ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য নয়, কিন্তু ৩ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য। সুতরাং ১২৩ মৌলিক সংখ্যা নয়।

এখন আসি কিভাবে মৌলিক সংখ্যা খুজে বের করা যায়। এ সম্পর্কে কয়েকটি কৌশল উপস্থাপন করা হল,

১‌. যদি n=1,2,3,4,........ হয় তবে,

(6n+1) এবং (6n–1) মৌলিক সংখ্যা, তবে সংখ্যাটি যদি ২টি মৌলিক সংখ্যার গুনফল হয় তবে তা গ্রহণযোগ্য নয়। যেমন :

6×1+1=7

6×1–1=5

6×6–1=35; যা মৌলিক নয়, কারণ ৩৫=৫×৭, অর্থাৎ সংখ্যাটি ২টি মৌলিক সংখ্যার গুণফল।

২. ৪১ এর চেয়ে বড় মৌলিক সংখ্যা পাওয়ার একটি কৌশল হল:

n2+n+41=prime number.

যেমন: 22+2+41=47; যা মৌলিক সংখ্যা।

৩. সবচেয়ে বড় মৌলিক সংখ্যাগুলো এক বিশেষ পদ্ধতিতে বের করা হয়। যার নাম, মারজেন প্রাইম। মারজেন প্রাইম=2p − 1, যেখানে p=মৌলিক সংখ্যা। তবে p মৌলিক হলেই যে (2p − 1) মৌলিক হবে তা নয়। সংখ্যাটি মৌলিক কিনা তা পরীক্ষা করা যায় লুকাস লেহমার পরীক্ষার মাধ্যমে।

এখন জানতে ইচ্ছে করতেই পারে, মৌলিক সংখ্যা কোথায় ব্যবহার হয় বা এর গুরুত্বই বা কী। জ্ঞানপিপাসা মেটাতে এ সম্পর্কে কিছু তথ্য পরিবেশন করা হল,

১. পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্যে মৌলিক সংখ্যার ব্যবহার রয়েছে।

যেখানে বলা হয়েছে, প্রত্যেক ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা যা ১ থেকে বড় তারা হয় মৌলিক সংখ্যা নয়ত যৌগিক সংখ্যা এবং ১ এর চেয়ে বড় সংখ্যাগুলোকে যদি মৌলিক সংখ্যার গুণফল রূপে প্রকাশ করা হয় তবে প্রতি ক্ষেত্রে তা অনন্য হবে। যেমন :

১৪=২×৭

১৫=৩×৫

১৬=২×২×২×২

১৭=১×১৭

২. গ.সা.গু ও ল.সা.গু. নির্ণয়ে।

৩.অয়লারের উপপাদ্যে।

৪. বড় বড় পারফেক্ট সংখ্যা নির্ণয়ে মারজেন প্রাইম ব্যবহৃত হয়।

৫. এছাড়াও উচ্চশিক্ষার ক্ষেত্রে কোনো কোনো বিষয়ে মৌলিক সংখ্যার ব্যাপক ব্যবহার রয়েছে।
 

এই হল মৌলিক সংখ্যার অনিন্দ্য সুন্দর জগতের প্রবেশদ্বার। চিন্তাশীল জ্ঞানপিপাসু মনকে তথ্য-প্রযুক্তির এই যুগে মৌলিক সংখ্যার জগতে স্বাগতম।

•সবচেয়ে বড় মৌলিক সংখ্যা : https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=https://en.m.wikipedia.org/wiki/Largest_known_prime_number&ved=2ahUKEwj_vpXMrrbpAhWDzzgGHRkCCDoQFjAGegQIDhAH&usg=AOvVaw2dD2K4FOCFIGb07a42QsDY

•মারজেন প্রাইম ও পারফেক্ট সংখ্যা:
https://en.m.wikipedia.org › wiki
Mersenne prime - Wikipedia

• লুকাস লেহমার পরীক্ষা:
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Lucas%E2%80%93Lehmer_primality_test

• পাটিগণিতের মৌলিক  উপপাদ্য: https://bn.m.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%AA%E0%A6%BE%E0%A6%9F%E0%A6%BF%E0%A6%97%E0%A6%A3%E0%A6%BF%E0%A6%A4%E0%A7%87%E0%A6%B0_%E0%A6%AE%E0%A7%8C%E0%A6%B2%E0%A6%BF%E0%A6%95_%E0%A6%89%E0%A6%AA%E0%A6%AA%E0%A6%BE%E0%A6%A6%E0%A7%8D%E0%A6%AF

• অয়লারের উপপাদ্যে: https://brilliant.org/wiki/eulers-theorem/